Trattato di Analisi di Fourier Volume 1


Il Trattato di Analisi di Fourier è un manuale di livello specialistico-universitario inerente le serie e la trasformata di Fourier, adatto agli studenti dei corsi di laurea magistrale in matematica, fisica e ingegneria.

L'autore:
Mirco Mariucci

(file .pdf 693 pag. formato A5 font 10 mm)

Indice dei contenuti:

Parte 1. Prerequisiti Fondamentali

Capitolo 1. Nozioni preliminari

1.1. Notazioni e convenzioni
1.2. Spazi Vettoriali
1.3. Formule trigonometriche
1.4. Numeri complessi
1.5. Funzioni 
1.6. Richiami di Analisi
1.7. Spazi $L^p(I)$ 
1.8. Spazio $L^\infty$
1.9. Spazi $l^p$
1.10. Simboli di Landau 

Parte 2. Le Serie di Fourier in $L^2(I)$

Capitolo 2. Lo spazio $L^2(I)$

2.1. Definizione dello spazio $L^2$
2.2. Il prodotto scalare in $L^2$  e le sue proprietà
2.3. Sistemi Ortogonali in $L^2$ 

Capitolo 3. Le Serie di Fourier in $L^2$

3.1. Sistema trigonometrico reale e complesso
3.2. Il problema della migliore approssimazione
3.3. Coefficienti e Serie di Fourier in $L^2$
3.4. Proprietà dei Coefficienti di Fourier in $L^2$

Parte 3. La Trasformata finita di Fourier

Capitolo 4. La trasformata finita di Fourier

4.1. Sistemi trigonometrici normalizzati
4.2. Trasformata finita di Fourier
4.3. Proprietà della Trasformata finita di Fourier

Parte 4. Il Prodotto di Convoluzione

Capitolo 5. Nozioni preliminari

5.1. Notazioni e convenzioni
5.2. Spazio $C(R)$
5.3. Spazi $L^p$ su $R$
5.4. Spazio $L^\infty$ su $R$
5.5. Risultati utili di Analisi Funzionale

Capitolo 6. Convoluzioni su $R$ 

6.1. Definizione di Convoluzione  f * g su $R$
6.2. Teoremi di esistenza e dominazione di f * g su $R$
6.3. Proprietà del prodotto di convoluzione 
6.4. Convoluzione per funzioni $L^p$-loc

Parte 5. Il Prodotto di Convoluzione con funzioni $2\pi$-periodiche

Capitolo 7. Nozioni preliminari

7.1. Funzioni $2\pi$-periodiche
7.2. Spazi $C2\pi$-periodici
7.3. Spazi $L^\infty2\pi$-periodici
7.4. Spazi $L^p2\pi$-periodici

Capitolo 8. Convoluzioni su R con funzioni $2\pi$-periodiche

8.1. Definizione di Convoluzione f  * g con funzioni $2\pi$-periodiche
8.2. Teoremi di esistenza e dominazione di f * g con funzioni $2\pi$-periodiche
8.3. Proprietà del prodotto di convoluzione con funzioni $2\pi$-periodiche

Parte 6. Gli Integrali Singolari

Capitolo 9. Nozioni preliminari

9.1. Norme e Distanze
9.2. Spazi di Banach
9.3. Operatori Lineari
9.4. Operatori Lineari su Spazi di Banach 
9.5. Risultati utili di Analisi Funzionale 

Capitolo 10. Integrali Singolari

10.1. Nucleo di funzioni su $R$ 
10.2. Identità Approssimata su $R$
10.3. Integrale Singolare su $R$
10.4. Esistenza e dominazione degli integrali singolari
10.5. Approssimazione con gli integrali singolari

Parte 7. Gli Integrali Singolari con funzioni $2\pi$-periodiche

Capitolo 11. Integrali Singolari di funzioni $2\pi$-periodiche

11.1. Nucleo di funzioni $2\pi$-periodico
11.2. Identità Approssimata $2\pi$-periodica
11.3. Integrali Singolari $2\pi$-periodici
11.4. Esistenza e dominazione degli integrali singolari $2\pi$-periodici
11.5. Approssimazione con gli integrali singolari $2\pi$-periodici

Parte 8. Serie di Fourier con funzioni in  $L^1-2\pi$

Capitolo 12. Nozioni preliminari

12.1. La Serie Geometrica 
12.2. Risultati utili per la convergenza delle Serie di Fourier 
12.3. Funzioni a variazione limitata (cenni)

Capitolo 13. Serie trigonometriche di Fourier

13.1. Serie di Fourier in $L^1-2\pi$
13.2. Convergenza puntuale della Serie di Fourier in $L^1-2\pi$
13.3. Applicazione al problema di Basilea 
13.4. Convergenza in norma delle Serie di Fourier 
13.5. Completezza del sistema trigonometrico

Parte 9. Questioni di convergenza

Capitolo 14. Test per la convergenza 

14.1. Test per la convergenza 
14.2. Il Teorema di Korovkin

Capitolo 15. Indurre la convergenza

15.1. A cosa servono i $\Theta$-fattori?
15.2. $\Theta$-fattori e $\Theta$-medie
15.3. $\Theta$-medie come prodotto di convoluzione
15.4. Esempi classici di $\Theta$-fattori

Parte 10. Applicazioni alle equazioni differenziali

Capitolo 16. Nozioni preliminari

16.1. Richiami di Analisi
16.2. Gradiente, Divergenza e Laplaciano
16.3. Equazioni differenziali lineari ordinarie omogenee 
16.4. Equazione differenziale di Eulero omogenea
16.5. Principi di massimo

Capitolo 17. Equazione delle onde di d'Alembert 

17.1. Definizione dell'equazione delle onde
17.2. Soluzione generale dell'equazione delle onde 
17.3. Eq. delle onde: problema al contorno su $R$
17.4. Eq. delle onde: problema al contorno su $[0;\pi]$ 

Capitolo 18. Equazione del calore

18.1. Definizione dell'equazione del calore 
18.2. Eq. del calore: problema al contorno su $[0;\pi]\times R^+_0$ 

Capitolo 19. Equazione di Laplace 

19.1. Definizione dell'equazione di Laplace 
19.2. Operatore di Laplace in coordinate polari
19.3. Problema di Dirichlet

Parte 11. Trasformata di Fourier in $L^1(R)$ 

Capitolo 20. Nozioni preliminari

20.1. Integrazione in senso generalizzato
20.2. E.D.O. lineari omogenee del primo ordine a coeff. variabili

Capitolo 21. Trasformata di Fourier con $L^1(R)$ 

21.1. L'integrale di Fourier
21.2. La trasformata di Fourier in $L^1(R)$ 
21.3. Proprietà elementari della trasformata in $L^1(R)$ 
21.4. Esempi di Trasformate di Fourier in $L^1(R)$ 
21.5. Proprietà fondamentali della trasformata in $L^1(R)$ 
21.6. La formula di sommazione di Poisson 

Parte 12. Anti-trasformata di Fourier in $L^1(R)$ 

Capitolo 22. Il problema dell'inversione in $L^1(R)$ 

22.1. Inversione in $L^1(R)$ 
22.2. $\Theta$-fattori in $R$
22.3. Esempi di $\Theta$-fattori in $R$
22.4. Risultati di convergenza

Parte 13. Applicazioni alle equazioni differenziali

Capitolo 23. Applicazioni alle equazioni differenziali alle derivate parziali

23.1. Il problema di Dirichlet per il semipiano 
23.2. Equazione del calore in $R$

Parte 14. Applicazioni alle equazioni integrali di Fredholm 

Capitolo 24. Applicazioni alle equazioni integrali di Fredholm 

24.1. Equazioni integrali di Fredholm 

Parte 15. Indice Analitico e Bibliografia

Indice analitico 
Bibliografia